Hijo del popular compositor e instrumentalista carpero Cayetano Saluzzi, Dino tocaba el bandoneón desde su niñez. Además de su padre, recibió influencias de músicos salteños como Cuchi Leguizamón, y por la música de tango de Francisco de Caro y de Agustín Bardi.

Desde su juventud, Saluzzi vivió en Buenos Aires, tocando en la Orquesta de Radio El Mundo. Se ganaba así la vida en orquestas, haciendo pequeños ingresos en ensambles de jazz (incluyendo un breve paso por el grupo del Gato Barbieri), desarrollando un personal estilo que hizo que fuera líder bandoneonista del folclore argentino y músico avant-garde (especialmente con Astor Piazzolla).

En los 1970s tocó el bandoneón en la canción de León Gieco Sólo le pido a Dios por pasajes de Buenos Aires, en los clubes de jazz como "Music Up" y en "La Trastienda" en el Palermo Viejo.
Muchos artistas de ECM y otros grandes del jazz han colaborado con Saluzzi: Charlie Haden, Charlie Mariano, Palle Danielsson, Al Di Meola.

En 1981 acompañó a Piero, quien regresaba de su exilio en España, en la producción de varios discos, junto a su banda musical "Prema". Entre ellos, se destacan "Recuerdos", "Canto de la Ternura", "Versiones originales" y "Soy un hombre común".

En 1991, Saluzzi grabó un álbum con sus hermanos. Félix Saluzzi y Celso y su hijo José María en guitarra, comenzando un "proyecto familiar", con un tour por muchos países.

En 2004 estuvo en una publicitada gira por Brasil con el compositor e instrumentalista Egberto Gismonti, con el que ha compartido muchos episodios musicales en el pasado.

En 2005 la Fundación Konex le otorgó el Diploma al Mérito de los Premios Konex como uno de los mejores instrumentistas de la década en Argentina.

En 2006 sale por ECM su CD Juan Condori grabado con el Dino Saluzzi Group, que "trata de los recuerdos de la infancia, su gente, sus lugares, de las cosas perdidas y ganadas, de las relaciones, de una vida vivida con ganas."

En 2015 recibió el máximo galardón que otorga la Fundación Konex, el Premio Konex de Brillante a la Música Popular al máximo referente de la última década en la Argentina.